Niceleme Mantığı II

Niceleme Mantığında Doğruluk Değeri Hesabı

Tümel Önermelerin Doğruluk Hesabı

∀xF x formundaki bir tümel önermenin doğruluğunu hesaplayabilmek için önce önermenin verilen evrene göre açılımı yapılır. Sonra özellemesi yapılan önermeler tümel evetleme eklemiyle (Λ) birbirine bağlanarak bileşik tümel evetleme önermesi oluşturulur. Daha sonra bu yeni önermenin doğruluk değeri doğruluk tablosundan hareketle hesaplanır. Eğer tüm özellemeler doğru ise tümel niceleme önermesi doğrudur; en az bir yanlışlayıcı değer var ise tümel niceleme önermesi yanlıştır.

Tikel Önermelerin Doğruluk Hesabı

∃xF x formundaki bir tikel önermenin doğruluğunu hesaplayabilmek için önce önermenin verilen evrene göre açılımı yapılır. Sonra özellemesi yapılan önermeler tikel evetleme eklemiyle (V) birbirine bağlanarak bileşik tikel evetleme önermesi oluşturulur. Daha sonra da bu yeni önermenin doğruluk değeri doğruluk tablosundan hareketle hesaplanır. Yapılan hesaplamaya göre tikel niceleme önermesinde en az bir özelleme gerçekleniyorsa doğru, hiçbir özelleme gerçeklenmiyorsa yanlıştır.

Çıkarımların Doğruluk Hesabı

Niceleme mantığında bir çıkarımın doğruluk değerini hesaplayabilmek için önce çıkarımın verilen evrene göre bir açılımı yapılır. Sonra öncüller birbirlerine tümel evetleme eklemiyle (Λ) sonuç önermesine ise koşul eklemiyle ( ⇒) bağlanarak bir koşul önermesi oluşturulur. Yapılan doğruluk değeri hesaplamasına göre evrenin hepsi çıkarımda birden doğrulanmışsa doğru, doğrulanmamışsa yanlıştır.Doğru olan çıkarımlar aynı zamanda geçerli, doğrulanmamış çıkarımlar ise geçersizdir.

Niceleme Mantığında Çözümleyici Çizelge ile Denetleme

Çözümleyici çizelge ile denetleme yöntemi önermeler mantığında kullanıldığı gibi niceleme mantığında da kullanılır. Ancak niceleme mantığında çözümleyici çizelgenin uygulanabilmesi içinniceleyici değilleme kurallarına da ihtiyaç vardır.

Çözümleme Kuralları

Niceleyici değilleme kuralları ve doğruluk değeri hesapları

Niceleyici değilleme kuralları, tümel önermenin tikel önermeye, tikel önermenin de tümel önermeye dönüştürülmesini sağlayan kurallardır.

Tümel niceleyici değilleme kuralı

Tümel niceleyicinin değilleme kuralı, ∼∀xFx ≡ ∃x∼Fx’dır. Bu iki önerme aynı zamanda birbirleriyle eş değerdir.

Tikel niceleyici değilleme kuralı

Tikel niceleyicinin değilleme kuralı, ∼∃xFx ≡ ∀x∼Fx’dir. Bu iki önerme aynı zamanda birbirleriyle eş değerdir.

Özelleme Kuralları

Tümel özelleme kuralı

∀xFx gibi bir tümel niceleme önermesinin özellemesi yapılırken öncelikle yol üzerinde bir ad sembolünün geçip geçmediğine bakılır. Yol üzerinde bir ad sembolü geçmişse bilinmezin yerine o konur. Eğer yol üzerinde herhangi bir ad sembolü geçmiyorsa özelleme isteğe bağlı olarak seçilen bir ad sembolü ile yapılır. Yol üzerinde birden fazla ad sembolü geçiyorsa, tümel özellemenin özellemesi ayrı ayrı yapılır. Örneğin " ∀xFb, ∀x(∼Fx V Gx) ve ∀xFx" önerme kümelerini niceleme mantığına göre birlikte özelleyebilmek için önce verilen önermeler alt alta yazılır ve birer önerme olup olmadıkları parantez içerisinde kısaca (Ö) şeklinde yazılır. Sonra kurallar çerçevesinde çözümleyici çizelgesi kurulur ve önermelerin ayrı ayrı özellemeleri yapılır.

Tikel Özelleme Kuralı

∃xFx gibi bir tikel niceleme önermesini özellemek için, açık yol üzerinde daha önce geçmiş olan herhangi bir ad sembolü bulunup bulunmadığına bakılır. Yol üzerinde bir ad sembolü geçiyorsa, tikel niceleme önermesinin özellemesi, bu ad sembolünden farklı bir ad sembolü seçilerek yapılır. Örneğin " ∃x(Gx Λ Ga) ∴Fa" çıkarmını niceleyici mantığına göre özelleyebilmek için önce öncül ve sonuç önermesi alt alta yazılıp sonuç önermesinin değili alınır ve öncül (Önc.) şeklinde, değil sonuç önermesi ise (∼Snç.) şeklinde kısaca yazılarak belirtilir. Sonra kurallar çerçevesinde çözümleyici çizelgesi kurulur ve ayrı ayrı özellenir.