Olasılık

Bir deney sonucu elde edilmesi mümkün olan bütün sonuçların kümesine örnek uzay denir ve 𝐸𝐸 ile gösterilir. Örnek uzayın her bir alt kümesine de olay denir. ∅ imkansız olay, 𝐸𝐸 kesin olaydır. Ayrıca, 𝐸𝐸 örnek uzayında kesişimleri boş küme olan iki olaya ayrık olaylar denir.

Bir deneyde tüm çıktıların olasılıkları birbirine eşit ise bu çıktıların oluşturduğu uzaya eş olumlu örnek uzay denir. Eş olumlu bir örnek uzayda bir 𝐴𝐴 olayının olasılığı: 𝑃𝑃(𝐴𝐴)=(𝑆𝑆(𝐴𝐴))/( 𝑆𝑆(𝐸𝐸)) olur.

Aşağıdaki aksiyomları sağlayan herhangi bir 𝐴𝐴 olayından [0,1] aralığına tanımlanan 𝑃𝑃 fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir:

0≤𝑃𝑃(𝐴𝐴)≤1

𝑃𝑃(∅)=0 ve 𝑃𝑃(𝐸𝐸)=1

𝐴𝐴 ve 𝐵𝐵, 𝐸𝐸 örnek uzayında ayrık iki olay ise 𝑃𝑃(𝐴𝐴∪𝐵𝐵 )=𝑃𝑃(𝐴𝐴)+𝑃𝑃(𝐵𝐵) dir.

𝐴𝐴 veya 𝐵𝐵 olayının olasılığı 𝑃𝑃( 𝐴𝐴∪𝐵𝐵)=𝑃𝑃(𝐴𝐴)+𝑃𝑃(𝐵𝐵)−𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐵𝐵) dir. 𝐴𝐴 olayının değilinin olasılığı da 𝑃𝑃(𝐴𝐴^′ )=1−𝑃𝑃(𝐴𝐴) dır.

𝐸𝐸 örnek uzayında 𝐴𝐴 ve 𝐵𝐵 iki olay olsun. 𝐵𝐵 koşulu altında 𝐴𝐴 olayının koşullu olasılığı 𝑃𝑃(𝐴𝐴\B)=(𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐵𝐵))/(𝑃𝑃(𝐵𝐵)), 𝑃𝑃(𝐵𝐵)≠0 şeklinde tanımlanır. Bu denklemin her iki yanını 𝑃𝑃(𝐵𝐵) ile çarparsak 𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)=𝑃𝑃(𝐴𝐴).𝑃𝑃(𝐵𝐵) elde edilir. Bu eşitliğe çarpım kuralı denir.

𝐴𝐴 ve 𝐵𝐵, 𝐸𝐸 örnek uzayında bağımsız iki olay olması için gerek ve yeter şart 𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)=𝑃𝑃(𝐴𝐴).𝑃𝑃(𝐵𝐵) olmasıdır. 𝐴𝐴 ve 𝐵𝐵 bağımsız olaylar ise 𝐴𝐴 ve 𝐵𝐵′, 𝐴𝐴′ ve 𝐵𝐵, 𝐴𝐴′ ve 𝐵𝐵′ olayları bağımsızdırlar.